On canonical connections induced by Golden structures on vector bundles

Résumé

Cet article développe une théorie intrinsèque des structures dorées sur un fibré vectoriel lisse E → M, définies par un endomorphisme de fibré φ satisfaisant φ² = φ + Id. La relation dorée engendre une décomposition spectrale canonique E = Eμ ⊕ Eμ̄ ; lorsque la métrique est compatible, cette décomposition est orthogonale et réduit le groupe structural à O(p) × O(q). Le travail étend ainsi, du fibré tangent aux fibrés vectoriels arbitraires, les constructions classiques relatives aux structures dorées et presque-produit. Il caractérise les sous-fibrés et morphismes dorés, les champs φ-invariants sur l’espace total, les métriques compatibles et les connexions Golden, notamment par la préservation parallèle des deux sous-fibrés propres. Le résultat central associe à toute connexion métrique de référence ∇⁰ la correction canonique K(X) = −(1/5)[∇⁰_Xφ, φ] et la connexion ∇ᶜ = ∇⁰ + K, qui est simultanément métrique et compatible avec φ. Géométriquement, ∇ᶜ est la partie diagonale de ∇⁰ relativement à Eμ ⊕ Eμ̄ : la correction supprime exactement les composantes secondes fondamentales qui mélangent les deux sous-fibrés. Elle coïncide avec la connexion adaptée de la structure presque-produit orthogonale P = (2φ − Id)/√5, désormais formulée sur un fibré vectoriel général. Toutes les connexions métriques Golden sont ensuite caractérisées comme ∇ᶜ + C, où C est une 1-forme à valeurs dans les endomorphismes antisymétriques commutant avec φ. Un théorème de minimalité montre que ∇ᶜ est l’unique connexion Golden obtenue à partir de ∇⁰ par une correction de norme de Hilbert–Schmidt minimale en chaque point. L’article précise enfin la dépendance envers la connexion de référence, la naturalité de la construction, la torsion dans le cas E = TM, la courbure, la réduction de l’holonomie, une forme normale locale et des exemples explicites où la correction est non nulle et la connexion canonique non plate.